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By Tobias Glosauer

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H. wir schreiben das Ergebnis von 3 + 4 nicht als 7, sondern als 2. Weitere Beispiele f¨ ur Summen in Z5 sind: 0+k =0+k =k f¨ ur alle k ∈ { 0, . . h. h. 3 ist das (Rechts-)Inverse von 2, usw. Es ist nun gar nicht mehr schwer nachzupr¨ ufen, dass (Z5 , +) eine abelsche Gruppe ist! Somit haben wir ein Beispiel f¨ ur eine Gruppe mit 5 Elementen gefunden. 3 anvertrauen kann. 2 F¨ ur jedes n ∈ N bildet die Menge Zn := Z/nZ = { 0, 1, . . ) Verkn¨ upfung k + := k + eine abelsche Gruppe der Ordnung n.

I) G ist abelsch. 36 2 Der abstrakte Gruppenbegriff (ii) F¨ ur alle a, b ∈ G gilt (ab)−1 = a−1 b−1 . (iii) F¨ ur alle a, b ∈ G gilt aba−1 b−1 = e. (iv) F¨ ur alle a, b ∈ G gilt (ab)2 = a2 b2 . Anstatt (i) ⇐⇒ (ii), (ii) ⇐⇒ (iii) usw. h. du zeigst (i) =⇒ ” (ii) =⇒ (iii) =⇒ (iv) =⇒ (i). 10 Zeige, dass die Abbildung i : G → G mit i(g) = g −1 bijektiv ist. 11 oder direkt: a) F¨ ur beliebige a, b ∈ G sind die Gleichungen x · a = b und a · x = b stets eindeutig in G l¨osbar. ) b) F¨ ur a, x, y ∈ G gelten die K¨ urzungsregeln: Aus ax = ay folgt x = y und ebenso erfordert xa = ya, dass bereits x = y gilt.

2: Ein 4-Zykel. Man sagt, π ist ein Zykel der L¨ ange 4 (kurz: 4-Zykel ) in S4 . Als Konvention beginnt ein Zykel in der Regel mit der kleinsten Ziffer, hier also der 1, aber auch π = (2 4 3 1) = (4 3 1 2) = (3 1 2 4) sind weitere zul¨ assige Darstellungen desselben Zykels π. Als weiteres Beispiel ist τ= 1 2 2 1 3 3 4 4 = ( 1 2 ) (3) (4) = ( 1 2 ) ein Zykel der L¨ ange 2 (die Zykel (3) und (4) der L¨ange 1 l¨asst man einfach weg), was man eine Transposition nennt. Und schließlich ist σ= 1 3 2 4 3 1 4 2 = (1 3)(2 4) ein Produkt zweier disjunkter Transpositionen, die so heißen, weil sie keine Zahl gemeinsam haben.

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